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Aprendendo a obter a Raiz Quardada de i, usando algebra, se aprofundando no assunto um pouco mais.

Como todos sabem eu me formei no supletivo em 1998, o que me trouxe uma grande lacuna na minha formação matemática, eu até avanço bem em muitos conceitos matemáticos, porém muitas vezes escorrego e preciso rever alguns estudos, agora estou revendo os cálculos com números complexos para me aprofundar nos estudos em Analise de “Sistemas e Sinais” no livro do Alan V. Oppenheim, “Signals and Systems”.

O Material abaixo é uma tradução livre, acrecido com meus textos e observações, do conteúdo do site Milefoodt Matematics - Square Root i.

Espero que você já tenha lido a publicação anterior, Números Imaginários, onde faço uma breve introdução sobre o assunto, leia também o artigo Raiz Quadrada i

Para encontrarmos a $\sqrt{i}$, a raiz quadrada de i. De fato, de fato o número i tem duas raiz quadradas, $\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} i$ e $-\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2} i$. Porém, você pode encontrar a raiz quadrada de outros números imaginários? com certeza.

Primeiro Exemplo

Vamos tentar encontrar a raiz quadrada de $3 + 4i$:

\[(a+bi)^2 = a^2+2abi+b^2 i^2 = (a^2-b^2)+(2ab)i\]

Nos precisamos resolver o sistema de equações

\[\left\{ \begin{align} a^2-b^2 &=3 \\ 2ab &=4 \end{align} \right.\]

Nos não podemos resolver este sistema tão rapidamente como quando nos encontramos a raiz quadrada da de i, mas pode ser feito. Resolvendo a segunda equação para a variável b, nos pegamos $b=\dfrac2a$. Substituimos esta quantidade na primeira equação, nos pegamos $a^2-\dfrac{4}{a^2}=3$. Anulamos a fração dada com $a^4-3a^2-4=0$. O que pode ser resolvido fatorando, com $a^2=4$ ou $a^2=-1$. Mas, nos desejamos valores reais para a váriavel a, assim, descarmos $-1$. com isso, $a^2=4$, e o valor de a são 2 e -2, usando $b=\dfrac2a$, nos encontramos $b=\pm1$. obtendo as duas raizes quadradas de $3+4i$ são $2+i$ e $-2-i$.

Segundo Exemplo

Tente encontrar a raiz quadrada de $2 + 3i$, mais uma vez, desde que:

\[(a+bi)^2 = a^2+2abi+b^2 i^2 = (a^2-b^2)+(2ab)i\]

Nos precisamos resolver o seguinte sistema de equações:

\[\left\{ \begin{align} a^2-b^2 &=2 \\ 2ab &=3 \end{align} \right.\]

Resolvendo a equação para a variável b, nos obtemos $b=\dfrac{3}{2a}$. Substituindo esta equação na primeira equação, nos obtemos $a^2 - \dfrac{9}{4a^2}=2$. Elimintando as frações obtemos $4a^4 - 8 a^2 - 9 = 0$. Isso pode ser resolvido usando a fórmula quadrática. e usando $a^2 = 1 \pm \dfrac{\sqrt{13}}{2}$. Mas queres valores reais para a variável real a, então descartamos o sinal negativo. portanto, obtemos $a = \pm \sqrt{1+\dfrac{\sqrt{13}}{2}} = \pm \dfrac12 \sqrt{4+2\sqrt{13}}$. (Bagunçada, mas verdadeira!). Usando $b=\dfrac{3}{2a}$, nos encontramos $b= \pm \dfrac{3}{\sqrt{4+2\sqrt{13}}}$, portanto as duas raizes quadradas de $2 + 3i$ são:

\[\dfrac12 \sqrt{4+2\sqrt{13}} + \dfrac{3}{\sqrt{4+2\sqrt{13}}} i\]

e

\[-\dfrac12 \sqrt{4+2\sqrt{13}} - \dfrac{3}{\sqrt{4+2\sqrt{13}}} i\]

Conclusão

Há outra forma de encontrar as raizes, usando trigonometria, você pode ler mais sobre esta relação no próximo post Numeros Imaginarios e Trigonometria.

Como todos sabem uso estes artigos em meu site para anotar aquilo vou aprendendo, quando consolido um conhecimento de forma a se tornar útil, ofereço como consultoria e tutoria, assim contribuo para que outros possam crescer também.

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Carlos Delfino

Escrito por:

Desenvolvedor e consultor para projetos com Microcontroladores e Mobile

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